数列历年来是高考命题的热点，求数列通项公式更是高考重点考查的内容之一.下面介绍几种常见的用构造法求数列通项公式的类型. 一、a����n+1��-a��n=f(n)型
【例1】 已知数列{a��n}中 ，a��1=0,a����n+1��=a��n+2n-1,求数列{a��n}的通项公式.
分析：把a����n+1��=a��n+2n-1转化为a����n+1��-a��n=f(n),然后用累加法求通项公式.
解：∵a����n+1��-a��n=2n-1,∴a��2-a��1=2×1-1，a��3-a��2=2×2-1,…,a��n-a����n-1��＝2（n-1）-1,
以上n-1个式子两边分别相加得a��n-a��1=2［1+2+3…+（n-1）］-(n-1) ，
∴a��n=(n-1)2.
【例2】 在数列｛a��n｝中，a��1=1,a����n+1��=(1+1n)a��n+n+12n.
（I）设b��n=a��nn，求数列｛b��n｝的通项公式;
（II）求数列｛a��n｝的前n项和S��n.
解：（I）由已知得a����n+1��n+1=a��nn+12n,∴b����n+1��-b��n=12n,
∴b��2-b��1=12,b��3-b��2=122,…,b��n-b����n-1��=12��n-1��(n≥2).
于是b��n=b��1+12+122+…+12��n-1��=2-12��n-1��(n≥2).
又b��1=1也满足上式，故所求的通项公式b��n=2-12��n-1��.
（II）由（I）知a��n=2n-n2��n-1��，
∴S��n=��nk=1(2k-k2��k-1��)=��nk=1(2k)-��nk=1k2��k-1��.
设T��n=1+221+322+423+…+n2��n-1��，
则12T��n=12+222+323+
…+n-12��n-1��+n2n，
两式相减得12T��n=1+12+122+…+12��n-1��-n2n=1-12n1-12
-n2n=2-22n-n2n，
∴T��n=4-n+22��n-1��，∴S��n=n(n+1)+n+22��n-1��-4.
二、a����n+1��a��n=f(n)型
【例3】 已知数列{a��n}中，a��1=1,a����n+1��=nn+1a��n，求数列｛a��n｝的通项公式.
分析：把a����n+1��=nn+1a��n转化为a����n+1��a��n=f(n)型，然后用累乘法求解.
解：∵ a����n+1��a��n=nn+1，
∴a��2a��1=12,a��3a��2=23,…，a��na����n-1��=n-1n.
以上n-1个式子左右两边分别相乘得a��na��1=1n.�┯� ∵��a��1=1，
∴a��n=1n.
三、a����n+1��=pa��n+q型（p、q为常数且p≠1）
【例4】 已知数列{a��n}中，a��1=1，a����n+1��=2a��n+5，求数列｛a��n｝的通项公式.
分析：把a����n+1��=pa��n+q型转化为a����n+1��+t=p(a��n+t)，构造成等比数列再求通项公式.
解：将a����n+1��=2a��n+5化为a����n+1��+t=2(a��n+t)，展开可求得t=5，即a����n+1��+5=2(a��n+5).
∴数列{a��n+5}是以a��1+5=6为首项、公比为2的等比数列，由等比数列通项公式得a��n+5=6•2��n-1��.
∴a��n=6•2��n-1��-5.
四、a����n+1��=pa��n+f(n)型
【例5】 设数列｛a��n｝的前n项和为 S��n,a��1=1,S����n+1��=4a��n+2.
（I）设b��n=a����n+1��-2a��n，证明数列｛b��n｝是等比数列 ;
（II）求数列｛a��n｝的通项公式.
解：（I）由a��1=1及S����n+1��=4a��n+2，有a��1+a��2=4a��1+2,a��2=3a��1+2=5,∴b��1=a��2-2a��1=3.
由S����n+1��=4a��n+2 ,①则当n≥2时，有 S��n=4a����n-1��+2.②
①－②得a����n+1��=4a��n-4a����n-1��，∴a����n+1��-2a��n=2(a��n-2a����n-1��).
又∵b��n=a����n+1��-2a��n,∴b��n=2b����n-1��.
数列｛b��n｝是首项为b��1=3、公比为2的等比数列.
（II）由（I）可得b��n=a����n+1��-2a��n=3•2��n-1��,∴a����n+1��2��n+1��-a��n2n=34.
∴数列｛a��n2n｝是首项为12、公差为34的等差数列,
∴a��n2n =12+(n-1)34=34n-14,
即a��n=(3n-1)•2��n-2��.
评析：第（II）问中a����n+1��-2a��n=3•2��n-1��是a����n+1��=pa��n+qn(p,q为常数)型，主要的处理手段是两边除以q��n+1��，再用构造法求数列通项公式.
【例6】 在数列｛a��n｝中，a��1=a，a����n+1��=2S��n-2n-n2，求数列｛a��n｝的通项公式.
解：∵a����n+1��=2S��n-2n-n2,
∴a��n=2S����n-1��-2��n-1��-(n-1)2(n≥2).
又a����n+1��-a��n=2a��n-2��n-1��-2n+1,
即a����n+1��=3a��n-2��n-1��-2n+1.
设 a����n+1��+p2��n+1��+q(n+1)=3(a��n+p2n+qn）,
对比系数得p=-12,q=-1.
∴n≥2 时，数列｛a��n-2��n-1��-n｝是以首项为a��2-2-2=2a-7、公比为3的等比数列.
∴a��n=a(n=1)；(2a-7)3��n-2��+2��n-1��+n(n≥2).
五、a����n+1��=par��n型(p＞0，a��n�0）
【例7】 设正项数列｛a��n｝满足a��1=1，a��n=3a2����n-1��(n≥2)，求数列｛a��n｝的通项公式.
分析：对于a����n+1��=par��n型（p＞0,a��n＞0），一般是两边取以p为底的对数.
解：∵a��n=3a2����n-1��，
∴log��3a��n=log��3(3a2����n-1��)=log��33+2log��3a����n-1��.
∴log��3a��n+1=2(log��3a����n-1��+1).
设b��n=log��3a��n+1，则b��n=2b����n-1��.
∴数列｛b��n｝是以2为公比的等比数列，b��1=log��3a��1+1=1.
∴b��n=1×2��n-1��,
∴log��3a��n+1=2��n-1��.
∴a��n=3��2��n-1��-1��.
六、a����n+1��=ra��npa��n+q型
【例8】 已知数列{a��n}的首项a��1=35,a����n+1��=3a��n2a��n+1
,求数列｛a��n｝的通项公式.
分析: 对a����n+1��=3a��n2a��n+1两边取倒数后再恰当构造数列即可.
解: ∵a����n+1��=3a��n2a��n+1,
∴1a����n+1��=23+13a��n.
∴1a����n+1��-1=13(1a��n-1),
∴数列｛1a��n-1｝
是以1a��1-1=23、公比为13的等比数列.
∴1a��n-1=23•13��n-1��=23n.
∴a��n=3n3n+2.
【例9】 已知数列｛a��n｝中，a��1=1 ,a����n+1��=c-1a��n，设c=52，b��n=1a��n-2，求数列｛b��n｝的通项公式.
解：由已知有a����n+1��-2=52-1a��n-2=a��n-22a��n，两边取倒数得1a����n+1��-2=2a��na��n-2=4a��n-2+2.
∴b����n+1��=4b��n+2，∴b����n+1��+23=4(b��n+23).
∴数列｛b��n+23｝是首项为-13、公比为4的等比数列.
∴b��n+23=-13×4��n-1��，即b��n=-13×4��n-1��-23.
七、a����n+2��=pa����n+1��+qa��n型
【例10】 已知数列｛a��n｝满足a��1=1,a��2=3,a����n+2��=3a����n+1��-2a��n ，求数列｛a��n｝的通项公式.
分析：若p+q=1，则构造为a����n+2��-a����n+1��=(p-1)•(a����n+1��-a��n).
解： ∵a����n+2��=3a����n+1��-2a��n，∴a����n+2��-a����n+1��=2(a����n+1��-a��n).
∴
数列｛a����n+1��-a��n｝是以a��2-a��1=2为首项，公比为2的等比数列.
∴a����n+1��-a��n=2×2��n-1��=2n.
∴a��2-a��1=2,a��3-a��2=22，…，a��n-a����n-1��=2��n-1��.
以上n-1个式子两边分别相加得a��n-a��1=2+22+…+2��n-1��，
∴a��n=2n-1.
【例11】 已知数列｛a��n｝中a��1=1，a��2=4，a����n+1��=a��n+2a����n-1��(n≥2)，求数列｛a��n｝的通项公式.
分析：若p+q≠1，则构造为a����n+2��+qa����n+1��=p(a����n+1��+qa��n).
解：设a����n+2��+qa����n+1��=p(a����n+1��+qa��n)，∴p-q=1,pq=2.∴p=2,q=1或p=-1,q=-2.
当p=2,q=1时，整理得a����n+1��+a��n=2(a��n+a����n-1��)(n≥2)，
∴数列｛a����n+1��+a��n｝是以a��2+a��1=5为首项、公比为2的等比数列，
∴a����n+1��+a��n=5×2��n-1��.①
当p=-1,q=-2时，整理得a����n+1��-2a��n=-1(a��n-2a����n-1��)，
∴数列｛a����n+1��-2a��n｝是以a��2-2a��1=2为首项、公比为-1的等比数列，
∴a����n+1��-2a��n=2×(-1)��n-1��.②
由①-②得3a��n=5×2��n-1��-2×(-1)��n-1��
∴a��n=13［5×2��n-1��-2×(-1)��n-1��］.
用构造法求数列通项公式，是求通项公式的重要方法，只有多思考多练习，逐步掌握解题规律，才能提高解题能力.
(责任编辑 金 铃）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
http://m.jinghuajt.com/gaozhongzuowen/533327/